经过一个电路处理后,信号发生明显的变化的问题,变化包含了原始信号幅值和相位的变化,滤波电路对信号的幅值做出的响应称为幅频响应,对信号相位做出的反应称为相频响应。每一个频率的信号对应在时域就是信号的充放电特性。
滤波通常借助动态器件如电感和电容,利用它们在不同频率下阻抗变化,从而在其上面产生压降,对我们应该去除的信号进行衰减,进而达到滤波的效果。
我们知道电感和电容的阻抗特性实际上的意思就是储能特性,储能意味着时间特性,需要过程,这样的一个过程是滤波特性的体现的一方面。
在s域,写出回路的传递函数,根据波特图做多元化的分析,传递函数是输入和输出的增益关系
为了同时分析相位和幅值引入虚数,并且在虚平面做多元化的分析,和频率相关的电路阻值特性,我们用阻抗描述,通常包含实部与虚部,这个数学工具的引入,包含了幅值和相位信息的体现,简化了分析难度。
由于自然界正弦信号认为是单一频率的信号,是基础信号,不可再分解,其它信号是以正弦为基础的合成信号,所以,以下从电路输入某个频率的正弦信号开始分析。正弦信号输入这些线性电路,达到稳定后,输出信号只会发生幅值和相位的改变,不改变信号的频率。
从传递函数解出一个称作为极点的根,即令传递函数的分母为零,最后得出一个频率,由于这个频率从波特图上看,曲线在这个点前后发生突变的现象,我们形象地将这个频率称为“转折频率”,转折频率意味着一个响应发生“突变”的频率点,转折意味着响应的转弯点,前后会发生较大的变化。记住波特图图横轴是频率,代表着一系列不同频率信号通过这一个电路后,输出会发生不一样的变化,是一系列的信号,不是单一信号。转折频率代表了电路的固有特性,是电路参数和结构导致的结果,是电路的固有属性。
借助matalab工具进行绘制响应曲线,其它工具也可以,只要是自己熟悉的工具即可
,即低频增益,在传递函数中令s=0,得到直流增益为1,转换成dB刚好为0dB(0dB=20log1),这正是我们无源器件低通滤波器的特点,不能放大信号,在低频段,电容容抗几乎为无穷大,即电容为开路状态,信号被原模原样传输过来,这时候增益就是1,由于电容看做开路,那么阻性电路中,信号自然也不会产生任何相位偏移。
,这个频率的信号增益被衰减到原来的70.7%,也就是-3dB的地方,图中为-2.99dB对应转折频率为15.9Hz,这是由于实际计算转折频率为15.915Hz,存在一点误差。对相位来说,在这个频率点,相位会偏移-45°,负号表示信号被滞后了,从时间看,也就是被延时了。但是对其它不同频率信号在这个频率点前后响应出现较大的不同。之前看做不衰减也就是直流增益部分,之后信号被快速衰减,同时产生一定的相移。(3)
,也就是相位延迟和具体时间的对应关系,方便我们理解相位和延迟之间的关系,延迟时间为:延迟时间=Kd*周期
,即在一个360°周期里延迟角度占有的比例,这里是45/360=1/8,也就是45°占有360°的1/8。转折频率约为15.9Hz,即一个周期为62.89ms。
那么,输入信号被延时时间为62.89ms*1/8=7.86ms,输出信号晚来输入信号7.86ms。
如下是对一个100Hz和200Hz信号进行延时举例,也说明了相位差和时间差之间的关联,它们一一对应(one to one)
相比于输入信号Uin,稳态后,电容电压为输出信号被滞后45°,并且幅度被衰减到70.7%,从下图波形也能够准确的看出。(稳态后,
上电压超前了45°,想象一下,这个电路测量对象不同,带来了“高通”和“低通”的概念)
转折频率处,输出信号相比输入信号,输入信号的幅值被衰减到原来的70.7%,相位被滞后45°(图中就是-45,符号表示信号相位被滞后)
环路中分析中采取的方法得到直流增益。这里直流增益如下,也就是除去了时效性动态器件的影响,纯阻性表现的特性,就是一个简单的分压电路。
,我们经过简单计算,得到转折频率为f=95.49kHz,如下图,转折频率处信号衰减到原来的70.7%,即1/6*70%=0.1178,即为-18.6dB,波特图中能够准确的看出,同时相位被滞后45°(-45℃)。
这个电路,我们对并联在C1上的R2取值为无限大,我们将R2取值无穷大后,只需要把传递函数简单化简后求极限,则电路重回到开头的RC电路,传递函数和RC低通电路相同。
注:负载的直接接入导致转折频率会向右移,即转折频率比单纯的RC会偏高,若R2趋于∞,那么转折频率由95.49k变为15.92k(用Excel快速计算一下)。
实际当中,尤其是采样电路,我们大家常常会用到RC低通滤波,我们会采用输入阻抗很大的运放组成跟随器。在
中,采样输入端口往往也是阻抗很大,所以我们也可以直接用RC滤波进行直接接入
高输入阻抗端口,这些都是让我们想要的信号幅值不发生衰减,而且几乎不产生相移、设定的转折频率不发生偏移,信号能够被正常采集。